My *nix world

Multimi de numere

Definitia 1.1 (Cantor): Prin multime intelegem o colectie de obiecte bine determinate si distincte. Obiectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii. Doua multimi sunt egale daca ele sunt formate din exact acelea,si elemente.

Notatia 1.2 Daca x este un obiect si A este o multime, vom nota:

  • x \in A daca x este element al lui A;
  • x \notin A daca x nu este element al lui A.

Observatia 1.3 Doua multimi A si B sunt egale daca ,si numai daca are loc echivalenta:

(x \in A, x \in B)

Moduri de a defini o multime:

  • sintetic, prin enumerarea elementelor multimii, e.g. A = {0, 1};
  • analitic, cu ajutorul unei proprietati care caracterizeaza elementele multimii:

A = {x | x are proprietatea P}
e.g. A = {x | x \in \mathbb{N}, x < 2} = {x \in \mathbb{R} | x2 = x}.

Multimi importante

  • Multimea numerelor naturale: N

N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }
N+ = {1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

  • Multimea numerelor intregi: Z

Z = {. . . , -n - 1, -n, . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

  • Multimea numerelor rationale: Q

Q = {a/b | a, b \in \mathbb{Z}, b \in (a/b=p/q, aq=bp)}

  • Multimea numerelor reale: R
  • Multimea numerelor complexe: C = {x + iy | x, y \in R}
  • Multimea vida \emptyset= \{x | x \in x\}

Incluziunea multimilor
Definitia 1.4 Daca A si B sunt multimi, spunem ca A este submultime a multimii B daca toate elementele lui A sunt si elemente ale lui B.

Notatia 1.5 Notam A \subset B faptul ca A este o submultime a multimii B.

Observatia 1.6 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate, oicare ar fi multimile A, B si C.

  1. A \subset B (\forall x \in A, x \in B) (x \in A \Rightarrow x \in B)
  2. A = B (A \subset B si B \subset A) (antisimetria)
  3. A \subset B\space si\space B \subset C \Rightarrow A \subset C
  4. A \subset A

Operatii cu multimi

  • intersectia: A \cup B = \{x | x \in A\space si\space x \in B\}
  • reuniunea: A \cup B = \{x | x \in A\space sau\space x \in B\}
  • diferenta: A\setminus B = \{x | x \in A\space si\space x \in B\}
  • complementara: Daca A \subset E, atunci C(A) = U\A; complementara lui A se mai noteaza si cu AC

Propozitia 1.7 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate pentru orice multimi A, B, C si E.

  • (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C); (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C); (asociativitatea operatiilor \cup si \cap)
  • A\cup B = B\cup A; A\cap B = B\cap A; (comutativitatea operatiilor \cup si \cap)
  • A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C); A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C); (distributivitatea operatiei \cup\space fata\space de\space \cap respectiv a operatiei \cap fata de \cup)
  • A\cup(A\cap B) = A; A\cap(A\cup B) = A; (absortia)
  • (A\cup B)^C = A^C\cap B^C; (A\cap B)^C = A^C\cup B^C (formulele lui de Morgan)

Daca vei considera ca articolul te-a ajutat atunci te rog nu uita sa-i dai o nota (stea). Asta imi arata ca iti pasa si ca urmare ma voi implica si voi scrie mai multe pe aceasta tema.

 
The following two tabs change content below.
Multimi de numere

Eugen Mihailescu

Founder/programmer/one-man-show at Cubique Software
Always looking to learn more about *nix world, about the fundamental concepts of math, physics, electronics. I am also passionate about programming, database and systems administration. 16+ yrs experience in software development, designing enterprise systems, IT support and troubleshooting.
Multimi de numere

Latest posts by Eugen Mihailescu (see all)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *