My *nix world

Fotonens rörelsemängd

Vi såg att en fotons bär energi som berör på ljus frekvensen (eller våglängden) som enligt Einstein-Plank relation är:

 E=h\cdot f=h\cdot\frac{c}{\lambda} (E1)

Det visades att en fotonen bär med sig också rörelsemängden så att när en elektron absorberar en foton den absorbera inte bara sin energi med också fotonens rörelsemängd. För att kunna förklara detta behöver vi förklara lite om relativitetsteori.

Lite om relativitetsteori

1905 publicerade Albert Einstein sin "Speciella relativitetsteorin" som förklarar vad händer när med föremål som färdas med en hastighet som närmar om ljushastighet (eller åtminstone 10% av ljushastighet). Denna teori visar att föremålets massan är inte en konstant begrep utan den ökar i takt med hastighetens ökningen. Det är självklart att vi kan inte märka skillnaden (det verkar konstant) när hastigheten är lite (i jämförelse med ljushastighet) men det blir anmärkningsvärt när hastigheten närmar sig om ljushastighet.

Om ett föremål är i villa nära dig då mäter du sin massa som kallas för vilomassan m0; om föremålet färdas över en viss fart (t.ex. 10% av ljushastighet) då det som du mäter är faktiskt den relativistiska massan m.

Einstein hittade att om ett föremål med vilomassan m0 färdas med hastigheten v brevid en observatör då skulle observatören mäta föremålets relativistiska massan m:

 m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=m_o\cdot\gamma (E2)

där c är ljushastighet i vakuum och  \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} som är känd som gammafaktorn. Ekvationen visar att alla föremål som befinner i rörelse har en relativistisk massa större en deras vilomassan. Om vi analyserar ekvationen ovanför ser vi att när v->cm->∞. Det betyder att för att accelerera ett föremål med vilomassan m0 fram till det får ljushastighet måste vi utföra ett infinit arbete. Med andra ord vi kan inte accelerera ett föremål med vilomassan till ljushastighet eftersom vi måste utföra ett infinit arbete som helt enkelt är omöjligt!

Einstein hittade också att den totala relativistiska energi av en partikel är given av den berömda ekvationen:

 E=mc^2 (E3) - den totala relativistiska energi

där m är den relativistiska massan från (E2) ovanför.

Om vi ersätter (E2) i (E3) får vi att  E=mc^2=m_0\cdot \gamma\cdot c^2. Om vi höjer både leder i exponent 2 får vi att:

 E^2=m_0^2\cdot \gamma^2\cdot c^4=m_0^2\cdot c^4\cdot\frac{1}{1-(\frac{v}{c})^2}=m_0^2\cdot c^4\cdot(1+\frac{(\frac{v}{c})^2}{1-(\frac{v}{c})^2})=m_0^2\cdot c^4\cdot(1+\frac{v^2}{c^2}\cdot\gamma^2)

Alltså  E^2=m_0^2\cdot c^4+m_0^2\cdot c^2\cdot v^2\cdot\gamma^2 men när v→c då p→m·v·γ => p2=m2·v2·γ2

Om vi sätter ihop dem sista ekvationer får vi att E2=m02·c4+p2·c2 =>

 E=\sqrt{m_0^2\cdot c^4+p^2\cdot c^2} (E4) - den totala relativistiska energi

där p är partikelns relativistisk rörelsemängd som i den klassiska fysik definieras som  p=m·v.

Från (E3) deducerar vi att en partikel har energi t.o.m. när den är i vila. När partikel är i vila (dvs. v=0) får vi från (E2) att m=m0 (alltså den relativistiska massan är lika med vilomassan när partikel är i vila) som enligt (E3) betyder att:

E0=m0·c2 (E5) - partikelns relativistiska viloenergi

Om vi sätter ihop (E4) och (E5) får vi att:

 E=\sqrt{E_0^2+p^2\cdot c^2} (E6) - den totala relativistiska energi

Med andra ord partikelns totala relativistiska energi E är partikel viloenergi E0 (när partikeln är i vila) plus partikelns kinetiska energi Ek (när partikeln är i rörelse):

Etotal=E0+Ek

Från ekvationen ovanför och från (E3) och (E5) tar vi reda på den relativistiska kinetiska energi:

 E_k=m_0\cdot c^2 - m\cdot c^2 =(m-m_0)\cdot c^2 (E7)- den relativistiska kinetiska energi

Om vi använder (E2) i (E7) får vi:

 E_k=(\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}-m_0)\cdot c^2=(\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}-1)\cdot m_0\cdot c^2=(\gamma-1)\cdot E_0 (E8)

Tillbaka till foton

En foton är en partikel av ren energi vars vilomassan är noll: mo=0. Från (E4) drar vi slutsatsen att fotonens relativistiska totalenergi är:

 E_{foton}=\sqrt{m_0^2\cdot c^4+p^2\cdot c^2}=\sqrt{0+p^2\cdot c^2}=p\cdot c (E9), det vill säga:

 p=\frac{E_{foton}}{c} (E10)

Från (E1) och (E10) får vi att:

 p=\frac{h\cdot\frac{c}{\lambda}}{c}=\frac{h}{\lambda} (E11) - fotonens rörelsemängd

Den här samband för fotonens rörelsemängd var publicerad 1905 av Einstein i sin "Speciella relativitetsteorin". Detta tillsammans med Einsteins-Plank förklaring angående den fotoelektrisk effekt förstärkte idén att ljus vågor som har partikel egenskaper (fotonens energi i bestämd kvanta E som har rörelsemängd p).

Om du tror att det artikel har hjälpt dig då, snälla du, gradera den här med en till fem stjärnor så att jag ska veta att du bryr om vad jag skriver.

 
The following two tabs change content below.
Fotonens rörelsemängd

Eugen Mihailescu

Founder/programmer/one-man-show at Cubique Software
Always looking to learn more about *nix world, about the fundamental concepts of math, physics, electronics. I am also passionate about programming, database and systems administration. 16+ yrs experience in software development, designing enterprise systems, IT support and troubleshooting.
Tagged on: ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Follow

Get every new post on this blog delivered to your Inbox.

Join other followers: